Подскажите почему пропадает интернет, если в настройках выключить NAT? Соединение настроено как PPPoE
DIR806A R1 v3.0.3

Без NAT работать не будет. Потому что NAT выполняет преобразование сетевых адресов.

То есть это вина провайдера (хотя с этим же провайдером, но на другой квартире и на другом роутере без всяких NAT работает), или такая странная особенность этой модели DIR806A?

В каком городе? С каким провайдером? И на каком роутере PPPoE работает без NAT??
Вины провайдера никакой нет, без NAT роутер будет пересылать пакеты в соответсвии с таблицей маршрутизации.
Без NAT интернет-сединение будет потеряно.

Город Омск, провайдер омские кабельные сети, на всех роутерах типа: TP-Link, Xiaomi - нигде нет в настройках галочки NAT
Дело в том, что провайдер обычно выдаёт белые IP, но динамические. И именно у меня IP серый (в роутере IP начинается на 100, тогда как в 2ip.ru показано что IP начинается на 185), из-за этого не могу пробросить порты для торрента (в роутере то могу, но это ничего не даёт, т.к. ип серый и порт вовне оказывается закрыт)
У соседей тот же провайдер, роутер TP-Link - IP белый, порты пробрасываются, NAT в настройках не нашёл

И тишина в ответ...
Возможно ли как-то на этой модели роутера использовать DHCP, как во всех обычных роутерах это делается, без NAT?

Всё дело в том, что если Вы не нашли галочку NAT, это не говорит о том что его там нет. Если вам нужно открыть ВСЕ порты на роутере, можно использовать механизм DMZ.