Заставить роутер работать как сетевую какрту неполучится никак. По одной просто причние, что это "промежуточное" устройство, на котором нет сервисов необходимых для использования.
По поводу блокировки. Я могу объяснить только почему он это делает, а объяснение очень просто
1)
У устройства нет записи в таблице соединение информации о текущей сессии или неправильная последовательность флагов в установке TCPсессиий.
2)
Нет ниодного подходящего правила для пропускания трафика во внутрь.
Других вариантов просто нет.
Надеюсь, что я ответил на все Ваши вопросы. Ешё раз повторюсь, что устройство работает согласно вышеописанному алгоритму и чудес особо не бывает. Вы сами написали, что всё работало, а потом перестало, и даже сами предположили, что держатель сервера что-то поменял.
По поводу невозможности пропинговать сервер с устройства, но возможности с компьютера. С точки зрения устройства и сервера, пинг будет обсалютно одинаковые, если конечно у Вас не древняя прошивка на которой эта кнопка не работала.
PS: актуальная прошивка на текущий момент:
ftp://ftp.dlink.ru/pub/Router/DI-624/Fi ... 18_nml.bin