Есть локальная сеть у нее есть выход в интернет, на входе в сеть есть шлюз, который занимается раздачей ip-адресов, при подключении DIR-651 к сети чтобы он раздавал интернет по Wi-Fi, если сетевой кабель подключить в порт internet то интернет не раздается, а если подключить кабель в любой из LAN портов то интернет успешно раздается. Почему так? Возможно ли настроить роутер чтобы он раздавал интернет при подключении кабеля в порт internet?

Возможно, но у Вас получится двойной NAT, если Вам понадобится прозрачное хождение по сети (локалка с плюшками), то получите геморрой в будущем. А, вообще, назначаете адрес Dir-651 отличный от адреса шлюза (он случайно не 192.168.0.1 у Вас), лучше в другой подсети. Например шлюз имеет адрес 192.168.0.1, а Dir-651, в настройках LAN вебморды, 192.168.1.1 и его DHCP вещает в подсети 192.168.1.0/24. Далее, в настройках WAN на 651 выбираете вариант "Динамический IP", чтобы он получал IP-адрес и DNS от шлюза или прописываете вручную из свободных в подсети шлюза + известные DNS-сервера, тогда вариант "Статический IP". Соответственно, клиенты за Dir-651 будут изолированы от других клиентов шлюза.

P.S. Если не заработает, то пинг, трейс и лукап до любого внешнего сайта сделайте и поймёте где у Вас интернет падает.